「统计学学习」Day3 假设检验

2019-01-07

1. 前言

《女性品茶：20世纪统计怎样变革了科学》

作者：萨尔斯伯格，美国统计学会（the American Statistical Association）的Fellow

该书通俗生动地介绍了20世纪统计学的发展主线

Step1：建立假设：$H_0: \theta \in \Theta_0 \ vs \ H_1: \theta \in \Theta_1$
Step2：选择检验统计量，给出拒绝域$W$的形式。
- 所谓拒绝域是指使原假设被拒绝的样本观测值所在的区域$W$，一般将$\bar{W}$称为接受域。
Step3：选择显著性水平$\alpha$。
- $\alpha = P(拒绝H_0|H_0为真) = P_0(X \in W), \theta \in \Theta_0$，给出拒绝域的具体范围。

	原假设成立	原假设不成立
接受	$\surd$	第二类错误（受伪）
拒绝	第一类错误（拒真）	$\surd$

第一类错误即为显著性水平$\alpha = P(拒绝H_0 | H_0为真) = P_0(X \in W)$

第二类错误的概率表达为$\beta = P(接受H0 | H_1为真) = P_0(X \in \bar{W}), \theta \in \Theta_1$

假设检验中，犯两类错误的概率不可能同时减小，二者相互制约
- 犯第一类错误的概率越小，则犯第二类错误的概率越大
- 犯第二类错误的概率越小，则犯第一类错误的概率越大
- 比如在考试中，设置分数线高低，对于学的好的同学和学的差同学的通过率问题
原假设和备择假设不能随意互换位置，原假设是人们经验上认为正常的假设
理想的检验应该是在控制犯第一类错误的基础上，尽量少犯第二类错误
显著性检验具有“保护原假设”的特点，显著性水平也不是越小越好
固定第一类错误的发生概率，可通过增加样本量降低犯第二类错误的概率

$p$值：在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平，称为检验的$p$值。或者说，在原假设下，出现比观测值更极端情况的概率。$p$值是相对某一次观测结果而言的。

设$X_1, X_2, …, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，考虑如下3种关于$\mu$的检验问题

对于单侧检验1，$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，故选用服从标准正态分布的检验统计量\[\mu = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}，\]通常称为$u$检验。

拒绝域选为\[W = \left\{(x_1, x_2, …, x_n): u = \frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)}{\sigma} \geq c\right\}，\]

$c$为临界值，简记为${u \geq c}$。

若显著性水平要求为$\alpha$，则可确定$c = u_{1-\alpha}$。

正态总体$N(\mu, \sigma^2)$关于$\mu$的假设检验，可以利用服从$n-1$自由度的$t$分布统计量$t = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0)}{S}$进行检验，通常称为t检验，三种关于$\mu$检验问题的显著性水平为$\alpha$的拒绝域分别为

$W = \left\{(x_1, x_2, …, x_n): t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu_0)}{s} \geq t_{1-\alpha}(n - 1)\right\}$
$W = \left\{(x_1, x_2, …, x_n): t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu_0)}{s} \leq t_{1-\alpha}(n - 1)\right\}$
$W = \left\{(x_1, x_2, …, x_n): t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu_0)}{s} \leq t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\right\}$

设总体服从离散分布$X $